贝叶斯定理和癌症（吸毒者）检测问题

我们的世界观和因其导致的行为往往是由一个简单的定理促成的，在150多年前，英国数学家贝叶斯(1701年到1761年) Thomas Bayes诞生了。贝叶斯，1701年出生于伦敦，做过神父，1742年成为英国皇家学会会员，1761年4月7日逝世。贝叶斯在数学方面主要研究概率论并创立了贝叶斯统计理论。这个著名的理论其实直到他去世后才得以发表。 天纵检测（SKYLABS）今天给大家简单讲讲有趣的贝叶斯定理和癌症（吸毒者）检测问题。

贝叶斯定理的数学公式其实非常简单：P(A|B) = P(A) x P(B|A) / P(B)。其中P表示概率，P(A)是A为真的概率，而P(B)是B为真的概率。P(A|B)的意思是假设B为真时A的概率，P(B|A)则是假设A为真时B的概率。如果不好理解，把它变成 P(B) x P(A|B) = P(A) x P(B|A) 可能相对就好理解了。

在日常生活中，我们经常使用医学检查这个问题来阐述这个公式。假设接受癌症的检查，癌症在同年龄的人中的发病率为1%。在真实的世界中，检查很少完全可靠。因此假设检查可靠性是99%，也就是说，100个癌症患者中有99个检查结果阳性，100个健康人中有99个检查结果阴性。这仍然是个不错的检查。

如果结果阳性，有多大可能得了癌症？

现在贝叶斯定理显示出它的力量了。大多数人认为答案是99%，或者很接近这个数字。这正是检查的可靠性，对吧？但是由贝叶斯定理得出的即使检测为阳性，其患癌症的真实性只有50%。

将数据代入贝叶斯等式的右边以找到原因。P(A)是0.01，得癌症而且结果阳性的概率，也就是P(B|A)，现在是0.99。因此P(A)乘以P(B|A)等于0.01乘以0.99，即0.0099。这是得到真阳性结果，显示阳性结果中得癌症的概率。

分母P(B)是什么？这就是事情有意思的地方。P(B)是无论是否得癌症时结果阳性的概率，换句话说，这里它包括了假阳性和真阳性。

为了计算假阳性的概率，你用假阳性率，也就是1%，或者0.01，乘以没有癌症的人群百分比0.99。结果是0.0099。是的，99%准确率的检查得到的假阳性和真阳性一样多。

让我们完成计算。为得到P(B)，将真阳性和假阳性相加，总和为0.0198，然后除以0.0099，得到0.5。所以再说一次，检查结果阳性时你得癌症的概率P(A|B)是50%。

如果再检查一次，可以极大地减少不确定性，因为你得癌症的概率P(A)现在是50%，而不是1%。如果第二次结果仍然是阳性，贝叶斯定理告诉你得癌症的概率现在是99%。

与之类似的还有“吸毒者检测”问题。假设一个常规的吸毒检测结果的敏感度与可靠度均为99%，即吸毒者每次检测呈阳性（+）的概率为99%。而不吸毒者每次检测呈阴性（-）的概率为99%。从检测结果的概率来看，检测结果是比较准确的，但是贝叶斯定理却可以揭示一个潜在的问题。假设某公司对全体雇员进行吸毒检测，已知0.5%的雇员吸毒。请问每位检测结果呈阳性的雇员吸毒的概率有多高？

对这个问题的求导过程其实和前面癌症检测的案例是一样的，天纵检测就不再重复复述了。天纵君在这里直接给出这个吸毒者问题的结论：即使吸毒检测的准确率高达99%，但贝叶斯定理计算得出，如果某人检测呈阳性，其吸毒的真实概率只有大约为33%，不吸毒的可能性其实是更大的。这里假阳性高，检测的结果其实并不可靠。

在医学诊断中一个症状（新证据）可以是多种可能的疾病（假设）的结果，但不同的疾病对于不同的人来说具有不同的先验概率。而目前在线医疗工具无法将个人的先验概率恰当的考虑在内，这也正是目前在线医疗的主要问题。它们对你的个人历史知之甚少，因此会忽略一系列可能的疾病。

贝叶斯定理能够在概率预测时，有非常好的效果。通过使用贝叶斯定理我们可以得到更加谨慎的结论。

像以上两个案例这样，通过贝叶斯定理我们可以得到非常精确但残酷的信息。这其实也很容易解释企业与个人的成功概率，比较残酷的现实是：即使你做对了99%的事情，您的成功概率可能依然是个小概率事件。